FLRW \(/\) de Sitter

Escolhemos tempo conforme \(η\) e coordenadas espaciais cartesianas comóveis.

Nesse sistema, as hipersuperfícies espaciais são homogêneas e isotrópicas.

Aplicamos uma transformação de Fourier nas três coordenadas espaciais.

Na teoria linear, a homogeneidade do fundo impede a mistura entre valores diferentes de \(k\).

Usamos o vetor unitário \(k\) chapéu para dividir o espaço vetorial em partes ortogonais.

Os projetores satisfazem P \(T\) mais P L igual à identidade e o produto entre eles é zero.

Aplicamos cada projetor ao modo espacial A i.

A definição isola representações distintas das rotações ao redor da direção de \(k\).

Somamos P \(T\) A e P L A e verificamos a contração com \(k\).

P \(T\) mais P L é a matriz identidade e \(k\) i P \(T\) i j é zero.

Reproduzimos a decomposição projetada e contamos as dimensões ortogonal e paralela a \(k\).

A componente A zero será eliminada por uma restrição e não constitui uma quarta polarização propagante.

Selecionamos a componente temporal da equação modal de Proca.

A ausência de A zero segunda linha identifica A zero como variável de restrição.

Damos um nome ao coeficiente que multiplica A zero.

A abreviação torna visíveis tanto a frequência instantânea quanto a condição de divisão.

Somamos ikA L linha aos dois lados.

É uma operação algébrica reversível.

Dividimos a equação inteira pelo coeficiente D.

Com a positiva e \(m\) positivo, D não se anula para qualquer \(k\) real.

Inserimos A zero resolvido na equação original.

A igualdade zero confirma que nenhum sinal ou fator D foi perdido.

Reproduzimos A zero resolvido e avaliamos seu denominador antes de tomar cada limite.

A restrição D A zero menos i \(k\) A L linha igual a zero fixa o sinal; o ponto D igual a zero fica fora da divisão.

Projetamos a ação quadrática nos dois vetores ortogonais a \(k\).

Isotropia faz as helicidades mais e menos terem a mesma ação.

Aplicamos Euler–Lagrange separadamente a \(λ\) igual a mais e menos.

O coeficiente cinético transversal é constante, portanto não surge termo de primeira derivada.

Substituímos a solução algébrica de A zero e reunimos os termos longitudinais.

A variável não propagante modifica a normalização cinética, mas não cria uma quarta polarização.

Aplicamos Euler–Lagrange e só depois dividimos por \(q\).

Para \(m>0\) e \(a>0\), \(q\) é positivo e a divisão é permitida.

Derivamos D em \(η\) mantendo \(k\) e \(m\) constantes.

Como a linha é igual a ℋ a, a regra do produto fornece o resultado.

Derivamos o logaritmo do quociente e usamos D menos a ao quadrado \(m\) ao quadrado igual a \(k\) ao quadrado.

A manipulação mantém explícita a origem geométrica do termo de atrito longitudinal.

Substituímos \(q\) linha sobre \(q\) na equação longitudinal e colocamos os setores lado a lado.

As três amplitudes compartilham D, mas suas normalizações cinéticas são diferentes.

Inserimos a ao quadrado igual a um sobre H ao quadrado \(η\) ao quadrado.

O sinal de a desaparece ao elevar o fator de escala ao quadrado.

Substituímos D na equação modal transversal.

Nenhum termo de primeira derivada aparece para as helicidades transversais.

Retiramos uma potência de \(η\) e medimos o tempo conforme em unidades de \(k\).

Essa substituição leva o termo de primeira derivada de y à forma padrão de Bessel.

Aplicamos a regra da cadeia duas vezes e reunimos os termos em potências de \(x\).

O fator raiz de menos \(η\) produz o termo um quarto que define a ordem.

Escolhemos H de primeira espécie e fixamos o fator de normalização usado pelos três presets reais.

Nos presets com \(ν\) real, a combinação possui o comportamento de frequência positiva adotado e o Wronskiano unitário da tabela.

Inspecionamos o sinal do radicando que define \(\nu\).

Raiz quadrada de um número real negativo é imaginária; esse ramo exige um fator de normalização adicional e não é amostrado pelos presets.

Reunimos a solução normalizada de ordem real e comparamos suas amplitudes tabeladas com a equação e a normalização.

Os testes confirmam os três presets fixos de ordem real; não calculam o ramo imaginário nem executam um solver geral.

Retiramos o fator comum a ao quadrado da métrica.

A conformidade é uma propriedade da geometria, independente da decomposição modal do campo.

Aplicamos a transformação conforme ao tensor de Weyl.

A propriedade de o tensor de Weyl se anular é preservada por reescala conforme.

Usamos o dicionário entre a parte autodual de Weyl e o espinor totalmente simétrico \(Ψ\).

As duas escritas codificam os mesmos graus de liberdade conformes da curvatura.

Contraímos o tensor de Ricci da métrica conforme.

Para um fator de escala genérico, a segunda derivada não se anula e portanto \(R\) não é identicamente zero.

Decompomos Ricci em representações irredutíveis.

Weyl nulo não impõe S igual a zero nem \(R\) igual a zero.

Reunimos as conclusões das três partes irredutíveis.

Conformidade plana não é o mesmo que planura de Riemann ou vazio de Ricci.

Fixamos a convenção de fase antes de reduzir o operador.

\(\beta_0\) é uma escolha documentada; não decorre de Weyl zero.

Especializamos a curvatura eletromagnética à hipótese neutra.

O laboratório estuda o campo de Proca como campo-teste sem um campo eletromagnético externo.

Usamos a forma final da dedução do artigo, na qual os termos \(\phi \psi\) intermediários se cancelam.

A ausência de termo explícito não autoriza apagar a conexão contida na caixa espinorial.

Substituímos o conteúdo conforme da geometria no termo de Weyl.

Essa substituição não afeta \(R\) nem os coeficientes de conexão do operador diferencial.

Mantemos as conexões da tétrada e da díade dentro de \(∇\).

Espinores carregam índices locais que também são derivados pela conexão.

Retiramos o único termo que \(Ψ=0\) anula e preservamos os demais.

A expressão é uma especialização covariante, não uma nova solução modal.

Recuperamos o resultado do passo anterior antes de especializar a geometria.

De Sitter é um caso particular de FLRW espacialmente plano.

Contraímos a relação de Einstein do fundo com a métrica inversa.

A contração g \(\mu \nu\) g \(\mu \nu\) fornece a dimensão quatro.

Substituímos \(R\) igual a doze H ao quadrado na decomposição de Ricci.

De Sitter é maximamente simétrico e sua curvatura é inteiramente escalar.

Dividimos o valor da curvatura escalar por três.

É uma simplificação aritmética na convenção adotada.

Trocamos \(R/3\) por \(4H^{2}\).

Não há termo de Weyl, mas a conexão de de Sitter continua dentro de \(□\) spin.

Reproduzimos a especialização covariante e delimitamos o cálculo modal que não foi realizado.

Projetar uma redução modal espinorial exigiria derivar todas as conexões, etapa que o laboratório não oferece.