Uma segunda derivada é o ponto de entrada para \(□\) e para o comutador de curvatura.
Diferencie a equação de primeira ordem
A equação de campo de Proca em forma espinorial compacta liga a divergência de \(\psi\) ao potencial com coeficiente um meio de \(m\) ao quadrado.
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados+
Aplicar uma derivada adicional à equação espinorial de primeira ordem e conservar, com todos os índices visíveis, os quatro termos produzidos por linearidade e Leibniz.
Antes de começar
- Usamos a Eq. (32) do artigo v7, com o potencial corretamente escrito como \(A^{BB'}\), e a Eq. (4.34) da dissertação como conferência da operação.
- O setor tratado é o não primado; o conjugado é reconstruído ao final.
- Nenhum índice é elevado ou abaixado no meio da aplicação de Leibniz.
Linha 1 Fixe a equação de primeira ordem
\[\nabla^{B'}{}_{A}\psi^{AB}-\frac12m^2A^{BB'}+i\beta^{B'}{}_{A}\psi^{AB}=0\]O que fizemos Fixamos uma única configuração dos índices da equação de campo antes de diferenciá-la.
Por que é válido As formas compacta e expandida são relacionadas pelas equações de autovalor de \(\gamma\); a fonte usa esta forma para iniciar a cadeia de segunda ordem.
Linha 2 Aplique \(\nabla\) ao conjunto inteiro
\[\nabla_{CB'}\!\left(\nabla^{B'}{}_{A}\psi^{AB}-\frac12m^2A^{BB'}+i\beta^{B'}{}_{A}\psi^{AB}\right)=\nabla_{CB'}0=0\]O que fizemos Derivamos covariantemente ambos os lados e conservamos os parênteses.
Por que é válido A derivada covariante de uma identidade nula continua sendo nula.
Linha 3 Distribua a derivada por linearidade
\[\nabla_{CB'}\nabla^{B'}{}_{A}\psi^{AB}-\frac12m^2\nabla_{CB'}A^{BB'}+i\nabla_{CB'}(\beta^{B'}{}_{A}\psi^{AB})=0\]O que fizemos Usamos linearidade e retiramos \(m\) ao quadrado constante da derivada.
Por que é válido \(M\) é parâmetro constante e os três somandos podem ser diferenciados separadamente.
Linha 4 Abra somente o produto \(\beta \psi\)
\[\nabla_{CB'}(\beta^{B'}{}_{A}\psi^{AB})=(\nabla_{CB'}\beta^{B'}{}_{A})\psi^{AB}+\beta^{B'}{}_{A}\nabla_{CB'}\psi^{AB}\]O que fizemos Aplicamos a regra de Leibniz ao terceiro bloco.
Por que é válido \(\beta\) e \(\psi\) são ambos campos dependentes da posição; nenhum pode ser tratado como constante.
Linha 5 Exiba os quatro lançamentos com índices
\[\underbrace{\nabla_{CB'}\nabla^{B'}{}_{A}\psi^{AB}}_{D_C{}^B}-\underbrace{\frac12m^2\nabla_{CB'}A^{BB'}}_{M_C{}^B}+\underbrace{i(\nabla_{CB'}\beta^{B'}{}_{A})\psi^{AB}}_{B_{1C}{}^B}+\underbrace{i\beta^{B'}{}_{A}\nabla_{CB'}\psi^{AB}}_{B_{2C}{}^B}=0\]O que fizemos Rotulamos cada parcela sem suprimir índices nem efetuar cancelamentos.
Por que é válido As próximas etapas usam identidades diferentes em cada bloco; manter a procedência permite conferir o cancelamento termo a termo.
Linha 6 Registre a equação operada
\[\nabla_{CB'}\!\left(\nabla^{B'}{}_{A}\psi^{AB}-\frac12m^2A^{BB'}+i\beta^{B'}{}_{A}\psi^{AB}\right)=0\]O que fizemos Reunimos os quatro lançamentos na forma compacta que será usada nos passos seguintes.
Por que é válido Esta linha é exatamente a operação efetuada na Eq. (4.34) da dissertação e na cadeia iniciada pela Eq. (32) do artigo v7.
A equação de campo espinorial é derivada mais uma vez para produzir uma equação de segunda ordem para \(\psi\).
Regra ou lema
- Linearidade de \(∇\).
- Regra de Leibniz no termo \(βψ\).
- Posições de índices permanecem explícitas.
Hipóteses
- Setor não primado; o conjugado é reconstruído depois.
Checkpoint: consigo justificar este passo?
Há três blocos a acompanhar: duas derivadas sobre \(ψ\), derivada do termo de massa e derivada do produto \(βψ\).