Laboratório 01extensão calculada

Geometria de teste

Minkowski

Campo livre massivo, ondas planas e três polarizações físicas.

Escopo controlado

Parâmetros curados, fórmulas pré-verificadas e nenhum solver geral. A camada espinorial especializa a equação covariante sem reivindicar resultados além das fontes.

Fonte primária: dissertação $+$ artigo v7 ↗

Primeiro, refaça a conta

Da hipótese ao resultado, sem saltos

Abra cada etapa para acompanhar substituições, derivadas, sinais e verificações antes de explorar os controles e gráficos.

Teoria mundo · 01

A divergência remove a componente escalar

A antissimetria de F faz a divergência dupla desaparecer.

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Partimos de

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\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0

Queremos chegar a

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\partial_\nu A^\nu=0

Cálculo linha por linha5 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Mostrar, sem saltos algébricos, por que a equação de Proca massiva impõe divergência nula ao potencial em Minkowski.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada do formalismo da dissertação e do artigo.
Usamos $ημν=diag(+1,−1,−1,−1)$, campo livre suave e $m>0$.
O bivetor $Fμν=∂μAν−∂νAμ$ é antissimétrico e as derivadas parciais comutam.

Linha 1
Parta da equação de Proca
$\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0$
O que fizemos
Fixamos a equação de campo no espaço-tempo plano e sem fonte externa.
Por que é válido
É a especialização em Minkowski da equação mundo usada no artigo; $m$ é mantido estritamente positivo.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Tome mais uma divergência
$\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2\partial_\nu A^\nu=0$
O que fizemos
Aplicamos $∂ν$ aos dois termos e retiramos $m^{2}$ da derivada por ser constante.
Por que é válido
A derivação é linear e o parâmetro de massa não depende da posição.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Troque os índices mudos
$S:=\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=\partial_\mu\partial_\nu F^{\nu\mu}$
O que fizemos
Renomeamos simultaneamente $μ$ por $ν$ e $ν$ por $μ$ na soma contraída.
Por que é válido
Índices mudos são rótulos de soma; a troca não altera o valor da contração.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Use comutação e antissimetria
$S=\partial_\mu\partial_\nu F^{\nu\mu}=-\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=-S\qquad\Longrightarrow\qquad S=0$
O que fizemos
Substituímos $Fνμ$ por menos $Fμν$ e reordenamos as derivadas parciais.
Por que é válido
A contração de um operador simétrico nos dois índices com um tensor antissimétrico é identicamente nula.
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Linha 5
Divida pelo termo de massa
$m^2\partial_\nu A^\nu=0,\qquad m>0\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\partial_\nu A^\nu=0}$
O que fizemos
Eliminamos S e dividimos a igualdade por $m^{2}$.
Por que é válido
A divisão é legítima somente no ramo massivo; em $m$ igual a zero esta conclusão não decorre desta linha.
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Teoria mundo · 02

Da equação de campo à equação de onda

Expandir F e usar a divergência nula desacopla cada componente.

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Partimos de

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\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+m^2A^\nu=0

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\partial_\mu A^\mu=0

Queremos chegar a

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(\Box+m^2)A^\nu=0

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Transformar a equação de primeira ordem em F numa equação de onda para A e localizar exatamente o termo removido pela divergência de Proca.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada no fundo plano.
Usamos $F^{μν}=∂^μA^ν−∂^νA^μ$ e $□=∂μ∂^μ$.
A condição $∂μA^μ=0$ já foi demonstrada para $m>0$ no passo anterior.

Linha 1
Substitua a definição de F
$\partial_\mu\!\left(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\right)+m^2A^\nu=0$
O que fizemos
Trocamos $F^{μν}$ por sua expressão em A.
Por que é válido
Essa é a definição do bivetor de campo no espaço-tempo plano.
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Linha 2
Distribua a derivada externa
$\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu\partial^\nu A^\mu+m^2A^\nu=0$
O que fizemos
Aplicamos a linearidade de $∂μ$ e preservamos o sinal negativo do segundo termo.
Por que é válido
Nenhum produto de campos aparece em F; portanto não surgem termos extras de Leibniz.
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Linha 3
Reconheça a caixa e comute derivadas
$\Box A^\nu-\partial^\nu\!\left(\partial_\mu A^\mu\right)+m^2A^\nu=0$
O que fizemos
Usamos $□=∂μ∂^μ$ e movemos $∂^ν$ para fora da contração.
Por que é válido
Derivadas parciais comutam em coordenadas cartesianas de Minkowski.
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Linha 4
Insira a restrição já obtida
$-\partial^\nu\!\left(\partial_\mu A^\mu\right)=-\partial^\nu(0)=0$
O que fizemos
Substituímos $∂μA^μ=0$ no único termo que mistura componentes.
Por que é válido
A condição foi deduzida, não imposta como gauge.
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Linha 5
Agrupe o operador massivo
$\Box A^\nu+m^2A^\nu=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad\boxed{(\Box+m^2)A^\nu=0}$
O que fizemos
Fatoramos $A^ν$ na soma dos operadores $□$ e $m^{2}$.
Por que é válido
A forma compacta é exatamente equivalente à linha anterior.
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Linha 6
Feche a equação e conte os graus de liberdade
$(\Box+m^2)A^\nu=0,\qquad 4\ \text{componentes de }A^\mu-1\ \text{restrição}=3\ \text{polarizações físicas}$
O que fizemos
Reproduzimos a equação de onda obtida e contamos as amplitudes independentes após aplicar $∂·A=0$.
Por que é válido
A saída pública e a contagem descrevem o mesmo campo vetorial massivo de spin um.
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Teoria mundo · 03

Onda plana e três polarizações

A onda plana converte a equação diferencial em relações algébricas verificáveis.

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Partimos de

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A^\mu(x)=\varepsilon^\mu e^{-ik\cdot x}

Queremos chegar a

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\omega^2=p^2+m^2,\quad \varepsilon_x=(0,1,0,0),\quad \varepsilon_y=(0,0,1,0),\quad \varepsilon_L=m^{-1}(p,0,0,\omega)

Cálculo linha por linha8 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Converter a equação de onda em relações algébricas e construir uma base explícita das três polarizações de Proca.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada para um modo de Fourier isolado.
Escolhemos $k^μ=(ω,0,0,p)$, $ω>0$, apenas para exibir uma base; nenhuma direção física é privilegiada.
Os produtos usam a assinatura $(+---)$, de modo que $k^{2}=ω^{2}−p^{2}$.

Linha 1
Escolha o ansatz de onda plana
$A^\mu(x)=\varepsilon^\mu e^{-ik\cdot x}$
O que fizemos
Separamos a dependência espacial e temporal numa exponencial complexa.
Por que é válido
A equação linear e translacionalmente invariante admite modos de momento definido.
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Linha 2
Troque derivadas por momento
$\partial_\alpha A^\mu=-ik_\alpha A^\mu,\qquad \Box A^\mu=-k^2A^\mu$
O que fizemos
Derivamos a exponencial e usamos que $ε^μ$ é constante.
Por que é válido
É a ação direta das derivadas sobre e elevado a menos i $k$ ponto $x$.
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Linha 3
Extraia a relação de dispersão
$(-k^2+m^2)\varepsilon^\mu e^{-ik\cdot x}=0\qquad\Longrightarrow\qquad k^2=m^2$
O que fizemos
Substituímos o ansatz em $(□+m^{2})A^μ=0$ e retiramos a fase não nula.
Por que é válido
Uma polarização física não é identicamente zero.
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Linha 4
Escolha o ramo de energia positiva
$\omega^2-p^2=m^2\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\omega=\sqrt{p^2+m^2}}$
O que fizemos
Inserimos $k^μ=(ω,0,0,p)$ e selecionamos $ω$ positivo.
Por que é válido
O laboratório acompanha o ramo de energia positiva.
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Linha 5
Transforme a divergência em ortogonalidade
$\partial_\mu A^\mu=0\qquad\Longrightarrow\qquad -ik_\mu\varepsilon^\mu=0\qquad\Longrightarrow\qquad k\cdot\varepsilon=0$
O que fizemos
Aplicamos uma derivada ao ansatz e cancelamos a fase.
Por que é válido
É a forma algébrica da restrição de Proca para um modo de Fourier.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Construa duas polarizações transversais
$\varepsilon_x^\mu=(0,1,0,0),\qquad \varepsilon_y^\mu=(0,0,1,0),\qquad k\cdot\varepsilon_x=k\cdot\varepsilon_y=0$
O que fizemos
Escolhemos vetores unitários espaciais perpendiculares ao eixo do momento.
Por que é válido
Com $k$ sem componentes $x$ e y, as duas contrações se anulam imediatamente.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 7
Construa a polarização longitudinal
$\varepsilon_L^\mu=\frac1m(p,0,0,\omega),\qquad k\cdot\varepsilon_L=\frac{\omega p-p\omega}{m}=0,qquad \varepsilon_L^2=\frac{p^2-\omega^2}{m^2}=-1$
O que fizemos
Normalizamos o único vetor no plano t z ortogonal a $k$.
Por que é válido
A relação $ω^{2}−p^{2}=m^{2}$ fixa a norma como menos um.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (8)–(17) · p. 5 ↗ (abre em nova aba)
Linha 8
Reúna a base e feche-a com o projetor
$\omega^2=p^2+m^2,\quad \varepsilon_x=(0,1,0,0),\quad \varepsilon_y=(0,0,1,0),\quad \varepsilon_L=m^{-1}(p,0,0,\omega),\qquad \sum_{\lambda=x,y,L}\varepsilon_{(\lambda)}^\mu\varepsilon_{(\lambda)}^\nu=-\eta^{\mu\nu}+\frac{k^\mu k^\nu}{m^2}$
O que fizemos
Reunimos as relações já verificadas e somamos os três produtos externos dos vetores construídos.
Por que é válido
A base reproduz explicitamente a saída pública, e seu projetor anula $k$, tem posto três e coincide componente a componente.
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Espinores · 04

Reconstrução em matrizes $2 × 2$

O quadrivetor real torna-se uma matriz hermitiana de índices $AA′$.

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Partimos de

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A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3)

Queremos chegar a

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A_{AA'}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Reconstruir o quadrivetor real como uma matriz hermitiana $2×2$ e exibir também a transformação inversa.

Antes de começar

Esta é a camada espinorial da extensão calculada em Minkowski.
Fixamos $σ_μ=(I,σ_1,σ_2,σ_3)/√2$ e, por elevação com $(+---)$, $σ^μ=(I,−σ_1,−σ_2,−σ_3)/√2$.
A normalização $1/√2$ é mantida tanto na ida quanto na reconstrução inversa.

Linha 1
Escreva as matrizes de Infeld–van der Waerden
$\sigma_0=\frac1{\sqrt2}\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \sigma_1=\frac1{\sqrt2}\!\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\frac1{\sqrt2}\!\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_3=\frac1{\sqrt2}\!\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
O que fizemos
Fixamos explicitamente o dicionário mundo espinor usado pelo laboratório.
Por que é válido
Declarar a base e a normalização evita ambiguidades de sinais e fatores na reconstrução.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Defina a imagem espinorial
$A_{AA'}:=A^\mu\sigma_{\mu AA'}=A^0\sigma_0+A^1\sigma_1+A^2\sigma_2+A^3\sigma_3$
O que fizemos
Contraímos o índice mundo de A com o índice mundo de $σ$.
Por que é válido
O objeto resultante possui um índice espinorial e um índice espinorial conjugado.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Some as contribuições diagonais
$A^0\sigma_0+A^3\sigma_3=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&0\\0&A^0-A^3\end{pmatrix}$
O que fizemos
Multiplicamos $σ$ zero e $σ$ três por seus coeficientes e somamos entrada a entrada.
Por que é válido
Ambas as matrizes são diagonais na díade escolhida.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Some as contribuições fora da diagonal
$A^1\sigma_1+A^2\sigma_2=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&0\end{pmatrix}$
O que fizemos
Somamos as matrizes de Pauli um e dois ponderadas por A um e A dois.
Por que é válido
Para componentes reais, as duas entradas são complexas conjugadas.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Reúna a matriz hermitiana
$\boxed{A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}},\qquad A_{AA'}^\dagger=A_{AA'}$
O que fizemos
Somamos as partes diagonal e fora da diagonal.
Por que é válido
Diagonal real e entradas conjugadas são precisamente a condição de hermiticidade.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Reproduza a matriz e exiba a reconstrução inversa
$A_{AA'}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix},\qquad A^0=\frac{A_{00'}+A_{11'}}{\sqrt2},\quad A^3=\frac{A_{00'}-A_{11'}}{\sqrt2},\quad A^1=\frac{A_{01'}+A_{10'}}{\sqrt2},\quad A^2=\frac{A_{10'}-A_{01'}}{i\sqrt2}$
O que fizemos
Reunimos a matriz hermitiana e resolvemos seu sistema linear para A zero, A um, A dois e A três.
Por que é válido
A escrita direta e sua inversa possuem quatro parâmetros reais e confirmam que a transformação é bijetiva.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)

Espinores · 05

Especialização plana da equação espinorial

Sem curvaturas de fundo, o operador covariante reduz-se ao operador plano.

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Partimos de

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(\Box_{\rm spin}+m^2+R/3)\psi_{AB}-2\Psi_{ABCD}\psi^{CD}=0

Queremos chegar a

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(\Box+m^2)\psi_{AB}=0

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Especializar a equação espinorial covariante ao fundo plano sem apagar as hipóteses geométricas e de fase usadas nessa redução.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada; o artigo fornece a equação covariante, e o laboratório apenas a especializa.
Usamos referencial cartesiano inercial, campo-teste livre e fase $γ$ constante.
Não há curvatura gravitacional nem campo eletromagnético de fundo.

Linha 1
Parta da equação covariante
$\left(\Box_{\rm spin}+m^2+\frac{R}{3}\right)\psi_{AB}-2\Psi_{ABCD}\psi^{CD}=0$
O que fizemos
Fixamos a configuração covariante de um espinor de valência (2,0): dois índices não primados e nenhum primado.
Por que é válido
É a estrutura final da equação de onda espinorial usada no artigo.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Anule a curvatura de Minkowski
$R_{\mu\nu\rho\sigma}=0\qquad\Longrightarrow\qquad R=0,\quad\Psi_{ABCD}=0$
O que fizemos
Especializamos os invariantes de curvatura ao fundo plano.
Por que é válido
Em coordenadas cartesianas, a métrica de Minkowski é constante e sua conexão de Levi Civita se anula.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Fixe a camada de fase neutra
$\gamma=\text{constante},\qquad\beta_\mu=0,\qquad\phi_{AB}=0$
O que fizemos
Aplicamos as hipóteses neutras declaradas para o laboratório.
Por que é válido
Essa é uma escolha do lift espinorial e do fundo, não uma consequência isolada de $R$ igual a zero.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Reduza a caixa espinorial
$\nabla_{AA'}\longrightarrow\sigma^\mu{}_{AA'}\partial_\mu,\qquad \Box_{\rm spin}\longrightarrow\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu=\Box$
O que fizemos
Eliminamos os coeficientes de conexão nulos da derivada covariante.
Por que é válido
A díade cartesiana é constante e a geometria é plana.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Substitua todos os termos do fundo
$\left(\Box+m^2+0\right)\psi_{AB}-0=0\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{(\Box+m^2)\psi_{AB}=0}$
O que fizemos
Inserimos $R=0$, $Ψ=0$ e $□$ spin igual a $□$.
Por que é válido
Cada termo eliminado foi ligado a uma hipótese explícita do laboratório.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Reproduza a equação e leia as componentes simétricas
$(\Box+m^2)\psi_{AB}=0,\qquad \psi_{AB}=\psi_{(AB)}\qquad\Longrightarrow\qquad\{\psi_{00},\psi_{01},\psi_{11}\}$
O que fizemos
Reproduzimos a equação especializada e listamos as componentes independentes do espinor simétrico.
Por que é válido
Cada componente satisfaz a saída, mas a interpretação física ainda herda as condições de realidade do campo mundo.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)

frequência positiva$ω =$$2.683282$

invariante de massa$k^{2} =$$1.44$

esperado $m^{2} = 1.44$

graus de liberdade$N =$$3$

duas transversais $+$ uma longitudinal

Representação didática · extensão calculadaPropagação e polarização em Minkowskilongitudinal

Parte real de $A^\mu=\varepsilon^\mu e^{-ik\cdot x}$ , com $k^\mu=(\omega,0,0,|\mathbf{k}|)$ e $k_\mu=(\omega,0,0,-|\mathbf{k}|)$ . A varredura percorre a fase da onda; não é uma integração temporal.

massa: $$m=1.2$$
momento: $|\mathbf{k}|=2.4$
frequência: $\omega=2.683$
fase inicial: $\theta=0\pi$

Quadro 1: deslocamento didático de fase Δϕ=0π. A curva contínua mostra A³; a curva tracejada mostra A⁰, exigida pela transversalidade.

01/25Pausado.

Relação de dispersãoω(|k|)

Ver valores do gráfico

\|k\|	ω(\|k\|)
0	1.2
1	1.562
2	2.3324
3	3.2311
4	4.1761
5	5.142
6	6.1188

resíduo da dispersão$0$abaixo de $10^{-9}$ · caso verificado

transversalidade $k·ε$$0$abaixo de $10^{-9}$ · caso verificado

projetor de completude$0$abaixo de $10^{-9}$ · caso verificado

Reconstrução

Do vetor à matriz $2\times2$ .

A onda plana fecha simultaneamente a relação de dispersão, a condição transversal e o projetor das três polarizações.

01Ação, campo e restrição

entrada

\mathcal L=-\frac14 f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}+\frac12m^2A_\mu A^\mu

saída

(\Box+m^2)A^\nu=0,\qquad \partial_\nu A^\nu=0

Regra variar $A_\nu$ e aplicar a identidade de Bianchi. Hipótese campo livre, fronteira nula, assinatura $(+---)$.

02Onda plana e base de polarizações

A^\mu(x)=\epsilon^\mu e^{-ik\cdot x},\quad k^2=m^2,\quad k\cdot\epsilon=0

\epsilon_x=(0,1,0,0)

\epsilon_y=(0,0,1,0)

\epsilon_L=m^{-1}(|\mathbf k|,0,0,\omega)

Completude $\sum_\lambda\epsilon^\mu_{(\lambda)}\epsilon^\nu_{(\lambda)}=-\eta^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/m^2$ .

03Reconstrução espinorial

$3.594$$0$$0$$0.2$

k_{AA'}=k^\mu\sigma_{\mu AA'},\qquad f_{AA'BB'}=\gamma_{A'B'}\psi_{AB}+\gamma_{AB}\bar\psi_{A'B'}

Leitura um quadrivetor real vira uma matriz hermitiana; um tensor antissimétrico real vira um espinor simétrico complexo e seu conjugado.

Minkowski

Antes de começar

Antes de começar

Antes de começar

Antes de começar

Antes de começar

Do vetor à matriz \(2\times2\).

Do vetor à matriz $2\times2$ .