Laboratório 03extensão calculada

Geometria de teste

Schwarzschild

Campo-teste no exterior, setores angulares e potencial ímpar.

Escopo controlado

Parâmetros curados, fórmulas pré-verificadas e nenhum solver geral. A camada espinorial especializa a equação covariante sem reivindicar resultados além das fontes.

Fonte primária: Rosa & Dolan ↗

Primeiro, refaça a conta

Da hipótese ao resultado, sem saltos

Abra cada etapa para acompanhar substituições, derivadas, sinais e verificações antes de explorar os controles e gráficos.

Teoria mundo · 01

Fixar o exterior como fundo

O campo de Proca não retroage na geometria deste laboratório.

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Partimos de

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ds^2=fdt^2-f^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2,\qquad f=1-\frac{2M}{r}

Queremos chegar a

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\frac{r_*}{2M}=\frac{r}{2M}+\ln\!\left(\frac{r}{2M}-1\right)

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Fixar o exterior de Schwarzschild como fundo de campo-teste e integrar, linha por linha, a coordenada tartaruga.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada: o campo de Proca não retroage na métrica.
Trabalhamos somente no exterior estrito $r>2M$, com $M>0$ e assinatura $(+---)$.
A constante aditiva de r* é convencional e será escolhida para obter a forma adimensional exibida no laboratório.

Linha 1
Escreva a métrica exterior
$ds^2=f(r)dt^2-f(r)^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2,\qquad f(r):=1-\frac{2M}{r}$
O que fizemos
Fixamos a geometria antes de introduzir o campo-teste.
Por que é válido
$M$ permanece constante porque a retroação Einstein–Proca está fora do laboratório.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Registre a condição de vácuo
$R_{\mu\nu}=0,\qquad R=0,\qquad r>2M$
O que fizemos
Especializamos as equações geométricas à região exterior sem matéria.
Por que é válido
Schwarzschild é uma solução de vácuo, não um espaço-tempo plano.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Defina a coordenada tartaruga
$\frac{dr_*}{dr}:=\frac1{f(r)}=\frac{r}{r-2M}=1+\frac{2M}{r-2M}$
O que fizemos
Dividimos $r$ por $r$ menos 2M para separar uma parte constante e uma parte logarítmica.
Por que é válido
A decomposição permite integrar os dois termos elementarmente.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Integre em $r$
$r_*=\int\!\left(1+\frac{2M}{r-2M}\right)dr=r+2M\ln|r-2M|+C$
O que fizemos
Integramos um e um sobre $r$ menos 2M termo a termo.
Por que é válido
No exterior, $r$ menos 2M é positivo, mas o módulo mantém a primitiva formal.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Escolha a constante e torne a expressão adimensional
$\boxed{\frac{r_*}{2M}=\frac r{2M}+\ln\!\left(\frac r{2M}-1\right)}$
O que fizemos
Absorvemos 2M dentro do logaritmo na constante C e dividimos por 2M.
Por que é válido
O argumento do logaritmo deve ser adimensional; constantes aditivas em $r$ estrela não alteram a física.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Reproduza $r$ estrela e leia os extremos
$\frac{r_*}{2M}=\frac{r}{2M}+\ln\!\left(\frac{r}{2M}-1\right),\qquad r\to2M^+:\ r_*\to-\infty,\qquad r\to\infty:\ r_*=r+2M\ln(r/2M)+O(1)$
O que fizemos
Reunimos a forma adimensional integrada e tomamos seus dois limites exteriores.
Por que é válido
O logaritmo diverge negativamente quando o argumento tende a zero positivo e cresce lentamente para $r$ grande.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)

Teoria mundo · 02

Setor ímpar desacoplado

A paridade ímpar deixa uma única amplitude radial para cada ℓ $≥ 1$.

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Partimos de

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A_\mu=\frac1r\sum_{\ell m}\sum_{i=1}^{4}c_i u_{(i)}^{\ell m}(t,r)\,Z_\mu^{(i)\ell m},\quad c_{1,2}=1,\ c_{3,4}=[\ell(\ell+1)]^{-1/2}

Queremos chegar a

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\left[-\partial_t^2+\partial_{r_*}^2-V_{\rm odd}(r)\right]u_4=0,\qquad V_{\rm odd}=f\!\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\mu_P^2\right]

Cálculo linha por linha7 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Projetar o campo de Proca no setor de paridade ímpar e acompanhar a origem da equação radial e de seu potencial.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada baseada na decomposição mundo de Rosa e Dolan.
O fundo é Schwarzschild fixo, $r>2M$, e a massa do campo é $μP$ para não ser confundida com $M$.
O setor ímpar existe somente para ℓ inteiro com $ℓ≥1$.

Linha 1
Parta da equação mundo no exterior
$\nabla_\mu F^{\mu\nu}+\mu_P^2A^\nu=0,\qquad F_{\mu\nu}=2\nabla_{[\mu}A_{\nu]}$
O que fizemos
Escrevemos a dinâmica do campo-teste na geometria já fixada.
Por que é válido
A derivada é covariante porque a conexão de Schwarzschild não se anula.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Expanda em harmônicos vetoriais
$A_\mu=\frac1r\sum_{\ell m}\sum_{i=1}^{4}c_i\,u_{(i)}^{\ell m}(t,r)Z_\mu^{(i)\ell m},\qquad c_{1,2}=1,\quad c_{3,4}=[\ell(\ell+1)]^{-1/2}$
O que fizemos
Separamos as dependências radial-temporal e angular mantendo a normalização usada nas equações radiais da fonte.
Por que é válido
Os fatores $1/r$ e c i fazem parte do ansatz de Rosa e Dolan; omiti-los redefiniria as amplitudes $u$ i.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Selecione a paridade axial
$A_\mu^{\rm odd}=\frac{c_4}{r}u_{(4)}^{\ell m}(t,r)Z_\mu^{(4)\ell m},\qquad c_4=[\ell(\ell+1)]^{-1/2},\quad \ell\ge1$
O que fizemos
Conservamos apenas o harmônico que muda com a paridade ímpar.
Por que é válido
Paridades diferentes são ortogonais e não se misturam num fundo esfericamente simétrico.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Projete a equação no harmônico axial
$\int d\Omega\,\overline{Z}^{(4)}_{\mu,\ell m}\,\eta^{\mu\nu}\left(\nabla_\alpha F^\alpha{}_{\nu}+\mu_P^2A_\nu\right)=0,\quad \eta^{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,f^2,r^{-2},r^{-2}\sin^{-2}\theta)$
O que fizemos
Usamos a ortogonalidade angular dos harmônicos vetoriais.
Por que é válido
A projeção elimina todos os setores e números angulares diferentes.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Use $r$ estrela para normalizar a parte radial
$\partial_{r_*}=f\partial_r,\qquad \left[-\partial_t^2+\partial_{r_*}^2-V_{\rm odd}(r)\right]u_4=0$
O que fizemos
Substituímos derivadas em $r$ por f vezes derivadas em $r$ estrela e reunimos os termos sem derivada.
Por que é válido
A definição dr estrela sobre dr igual a um sobre f produz $∂ r$ estrela igual a f $∂ r$.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Identifique o potencial ímpar
$\boxed{V_{\rm odd}(r)=f(r)\!\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\mu_P^2\right]}$
O que fizemos
Reunimos o autovalor angular e o termo de massa no coeficiente de $u$ quatro.
Por que é válido
O Laplaciano angular fornece $ℓ(ℓ+1)$, e a massa permanece como $μ$ P ao quadrado.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 7
Reúna a equação e teste horizonte e infinito
$\left[-\partial_t^2+\partial_{r_*}^2-V_{\rm odd}(r)\right]u_4=0,\qquad V_{\rm odd}=f\!\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\mu_P^2\right],\qquad r\to2M^+:\ V_{\rm odd}\to0,\quad r\to\infty:\ V_{\rm odd}\to\mu_P^2$
O que fizemos
Reproduzimos a equação desacoplada e usamos f tendendo a zero no horizonte e a um no infinito.
Por que é válido
A barreira centrífuga desaparece como um sobre $r$ ao quadrado, enquanto o termo de massa permanece no infinito.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)

Teoria mundo · 03

Monopolo e setor par acoplado

O monopolo tem uma equação efetiva própria; para ℓ $≥ 1$, duas amplitudes pares permanecem acopladas.

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Partimos de

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\{u_2,u_3\}_{\ell\ge1},\qquad u_{\ell=0}

Queremos chegar a

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V_{\ell=0}=f\!\left[\mu_P^2+\frac{2(r-3M)}{r^3}\right],\qquad \ell\ge1:\;u_2\leftrightarrow u_3

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Separar corretamente o monopolo do setor par com $ℓ≥1$ e deixar explícito por que o sistema par geral não é diagonalizado pelo site.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada da decomposição harmônica mundo.
O monopolo deve ser reduzido antes de usar fórmulas que pressupõem harmônicos vetoriais angulares.
Para $ℓ≥1$, o laboratório mostra a estrutura acoplada, mas não fornece todas as soluções modais.

Linha 1
Separe o valor monopolar
$Y_{00}=\frac1{\sqrt{4\pi}},\qquad \nabla_aY_{00}=0$
O que fizemos
Avaliamos as estruturas angulares em ℓ igual a zero antes da redução radial.
Por que é válido
Harmônicos vetoriais construídos de derivadas de Y ℓm desaparecem no monopolo.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Não prolongue o harmônico axial
$Z_a^{\rm odd,\ell=0}=0\qquad\Longrightarrow\qquad V_{\ell=0}\neq V_{\rm odd}\big|_{\ell=0}$
O que fizemos
Retiramos uma base angular inexistente em vez de prolongá-la formalmente.
Por que é válido
Colocar ℓ igual a zero numa equação derivada para ℓ maior ou igual a um não preserva a projeção original.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Reduza a restrição monopolar
$u_{\ell=0}\equiv u_{(2)}^{00},\qquad\left[-\partial_t^2+\partial_{r_*}^2-V_{\ell=0}(r)\right]u_{\ell=0}=0$
O que fizemos
Usamos a equação de restrição específica de ℓ igual a zero para deixar uma variável dinâmica.
Por que é válido
A redução monopolar possui conteúdo angular diferente do setor axial.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Identifique o potencial do monopolo
$\boxed{V_{\ell=0}(r)=f(r)\!\left[\mu_P^2+\frac{2(r-3M)}{r^3}\right]}$
O que fizemos
Reunimos os termos da equação monopolar reduzida no coeficiente da amplitude.
Por que é válido
O termo geométrico não é uma barreira centrífuga obtida do potencial ímpar.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Volte ao setor par multipolar
$\ell\ge1:\qquad \mathbf u_{\rm even}:=\begin{pmatrix}u_2\\u_3\end{pmatrix},\qquad \left[\mathbf D(r,\partial_t,\partial_{r_*})+\mathbf C(r)\right]\mathbf u_{\rm even}=0$
O que fizemos
Agrupamos as duas equações pares sobreviventes numa escrita matricial apenas estrutural.
Por que é válido
A fonte de referência mantém acoplamentos entre as duas amplitudes; o site não inventa uma diagonalização.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Reproduza e delimite a saída pública
$V_{\ell=0}=f\!\left[\mu_P^2+\frac{2(r-3M)}{r^3}\right],\qquad \ell\ge1:\;u_2\leftrightarrow u_3$
O que fizemos
Reunimos o resultado monopolar e a estrutura multipolar sem forçá-los numa única redução.
Por que é válido
A fórmula reproduz exatamente a fronteira científica declarada pelo laboratório.
Conferir emRosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)

Espinores · 04

Tétrada principal de Kinnersley

A díade principal comprime a curvatura de Schwarzschild em um único escalar de Weyl.

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Partimos de

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R_{\mu\nu}=0,\qquad R=0

Queremos chegar a

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\Psi_2=-\frac{M}{r^3},\qquad \Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0

Cálculo linha por linha6 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Construir a tétrada nula principal de Schwarzschild e mostrar por que toda a curvatura de Weyl se reduz a $Ψ2$ na convenção adotada.

Antes de começar

Esta é a camada espinorial da extensão calculada no exterior $r>2M$.
Usamos a especialização $a=0$ da tétrada principal de Kinnersley, com $l·n=1$ e $m·m̄=−1$.
O sinal de $Ψ2$ depende da orientação e das convenções; o site fixa $Ψ2=−M/r^{3}$.

Linha 1
Parta da geometria de vácuo
$R_{\mu\nu}=0,\qquad R=0,\qquad C_{\mu\nu\rho\sigma}=R_{\mu\nu\rho\sigma}$
O que fizemos
Aplicamos a decomposição de Riemann na condição de vácuo.
Por que é válido
Os termos construídos de Ricci e $R$ desaparecem, mas Weyl permanece.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (35)–(42) · p. 8 ↗ (abre em nova aba)Rosa & Dolan · Eq. (1)–(17) · p. 3–4 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Escolha os vetores nulos principais
$l^\mu=\left(f^{-1},1,0,0\right),\quad n^\mu=\frac12\left(1,-f,0,0\right),\quad m^\mu=\frac1{\sqrt2r}\left(0,0,1,i\csc\theta\right)$
O que fizemos
Alinhamos l e n às duas direções nulas principais radiais de Schwarzschild.
Por que é válido
Essa escolha é a forma de Kinnersley no limite sem rotação.
Conferir emGreen et al. · Eq. (F5a)–(F5c), (F7) · p. 23 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Confira a normalização da tétrada
$l^\mu l_\mu=n^\mu n_\mu=m^\mu m_\mu=0,\qquad l^\mu n_\mu=1,\qquad m^\mu\bar m_\mu=-1$
O que fizemos
Contraímos os vetores com a métrica de Schwarzschild.
Por que é válido
As relações confirmam que a base nula reconstrói a assinatura mais menos menos menos.
Conferir emGreen et al. · Eq. (F5a)–(F5c), (F7) · p. 23 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Use o tipo de Petrov D
$\text{Schwarzschild é tipo D}\qquad\Longrightarrow\qquad \Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0\ \text{na tétrada principal}$
O que fizemos
Projetamos Weyl nas direções principais repetidas.
Por que é válido
O tipo D possui duas direções nulas principais duplas, alinhadas com l e n.
Conferir emGreen et al. · Eq. (F5a)–(F5c), (F7) · p. 23 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Avalie a componente sobrevivente
$\boxed{\Psi_2=-\frac{M}{r^3}},\qquad \boxed{\Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0}$
O que fizemos
Contraímos o tensor de Weyl com l, n, $m$ e $m$ barra na orientação fixada.
Por que é válido
A dependência $M$ sobre $r$ ao cubo é a escala de curvatura tidal de Schwarzschild.
Conferir emGreen et al. · Eq. (F5a)–(F5c), (F7) · p. 23 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Reproduza Weyl e passe às unidades do controle
$\Psi_2=-\frac{M}{r^3},\qquad \Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0,\qquad x:=\frac r{2M}\qquad\Longrightarrow\qquad M^2\Psi_2=-\frac1{8x^3}$
O que fizemos
Reproduzimos todas as componentes de Weyl, substituímos $r=2Mx$ e multiplicamos $Ψ2$ por $M^{2}$.
Por que é válido
A fonte fixa a componente e seu sinal; a forma adimensional permite a comparação direta com o controle.
Conferir emGreen et al. · Eq. (F5a)–(F5c), (F7) · p. 23 ↗ (abre em nova aba)

Espinores · 05

Especializar a equação na configuração mista

A forma mista mantém visível a ação de Weyl sem transformar escolhas de fase em identidades geométricas.

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Partimos de

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(\Box_{\rm spin}+\mu_P^2)\psi_A{}^B+2\Psi_{AD}{}^{BC}\psi_C{}^D=0

Queremos chegar a

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P_{+1}=\psi_{00},\qquad P_0=\sqrt2\,\psi_{01},\qquad P_{-1}=\psi_{11}

Cálculo linha por linha7 movimentos explicados

Objetivo deste cálculo

Especializar a equação espinorial na configuração mista ao fundo tipo D e definir as três projeções principais sem alegar desacoplamento radial.

Antes de começar

Esta é uma extensão calculada covariante, não uma nova redução modal de Schwarzschild.
Usamos $R=0$, ausência de campo eletromagnético de fundo e um lift espinorial fixado.
A massa $m$ da equação covariante geral é identificada com $μP$, a massa de Proca usada nos controles e potenciais deste laboratório.
A díade é a díade associada à tétrada principal do passo anterior.

Linha 1
Parta da equação na configuração mista
$\left(\Box_{\rm spin}+\mu_P^2\right)\psi_A{}^B+2\Psi_{AD}{}^{BC}\psi_C{}^D=0$
O que fizemos
Fixamos a posição de índices um abaixo e um acima.
Por que é válido
Sinais e contrações de Weyl dependem da configuração dos índices; por isso ela é declarada antes da projeção. A valência permanece (2,0).
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 2
Nomeie o operador de Weyl
$\mathcal W[\psi]_A{}^B:=2\Psi_{AD}{}^{BC}\psi_C{}^D$
O que fizemos
Isolamos a parte algébrica de curvatura como um operador linear.
Por que é válido
A definição abrevia a escrita sem alterar índices, sinal ou fator dois.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 3
Insira o conteúdo tipo D
$\Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0,\qquad\Psi_2=-\frac Mr^3\qquad\Longrightarrow\qquad\mathcal W[\psi]\propto\Psi_2$
O que fizemos
Substituímos as cinco componentes de Weyl na base alinhada.
Por que é válido
As quatro componentes nulas não podem contribuir para a contração nessa díade.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 4
Defina as três projeções da díade
$\boxed{P_{+1}:=\psi_{00}},\qquad\boxed{P_0:=\sqrt2\,\psi_{01}},\qquad\boxed{P_{-1}:=\psi_{11}}$
O que fizemos
Listamos as componentes independentes do espinor simétrico na díade principal.
Por que é válido
Um espinor simétrico de ordem dois possui três componentes; a raiz de dois normaliza a componente mista.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 5
Organize as projeções num vetor
$\mathbf P:=\begin{pmatrix}P_{+1}\\P_0\\P_{-1}\end{pmatrix},\qquad \left[\Box_{\rm spin}+\mu_P^2+\mathbf W(\Psi_2)\right]\mathbf P=0\ \text{em notação estrutural}$
O que fizemos
Reunimos as três componentes para exibir onde a curvatura atua.
Por que é válido
A escrita é apenas estrutural e não atribui valores de autovalor ou separação radial não calculados.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 6
Preserve as conexões do operador
$\Box_{\rm spin}\mathbf P\neq\begin{pmatrix}\Box P_{+1}\\\Box P_0\\\Box P_{-1}\end{pmatrix}\ \text{sem calcular a conexão e a separação radial}$
O que fizemos
Mantemos a ação covariante de $□$ spin em vez de postular três equações escalares.
Por que é válido
A díade principal varia no espaço e suas conexões podem misturar componentes derivativas.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)
Linha 7
Reproduza as projeções e declare a fronteira
$P_{+1}=\psi_{00},\qquad P_0=\sqrt2\,\psi_{01},\qquad P_{-1}=\psi_{11},\qquad \Psi_2\neq0\ \Longrightarrow\ \text{acoplamento de curvatura permanece};\qquad \text{não se afirma uma redução radial espinorial desacoplada}$
O que fizemos
Reproduzimos as projeções e separamos a especialização covariante do problema adicional de separação radial.
Por que é válido
A redução radial citada pelo laboratório é a decomposição mundo, não uma nova derivação espinorial independente.
Conferir emArtigo v7 · Eq. (43)–(50) · p. 9 ↗ (abre em nova aba)Artigo v7 · Eq. (47)–(58) · p. 10 ↗ (abre em nova aba)

função métrica$f =$$0.75$

potencial ímpar$M^{2}Vodd =$$0.190313$

curvatura principal$M^{2}Ψ_{2} =$$-0.001953$

Representação didática · extensão calculadaRégua radial no exterior de Schwarzschild $$r>2M$$

Em uma fatia estática e para um pequeno incremento radial, $\Delta\ell\simeq\Delta r/\sqrt{f}$ . A varredura apenas compara réguas locais; não é órbita, trajetória nem evolução física e nunca atravessa o horizonte.

raio exterior: $$r/(2M)=4$$
função métrica: $$f=0.75$$
alongamento radial local: $\Delta\ell/\Delta r=1.155$

Quadro 1: as duas marcas percorrem a mesma fração de seus intervalos. Nesta posição exterior, um pequeno Δr corresponde localmente a 1.155Δr de distância radial própria na fatia t constante.

01/25Pausado.

Potenciais radiais curadosímpar ℓ=2monopolo ℓ=0

Ver valores do gráfico

r/2M	ímpar ℓ=2	monopolo ℓ=0
1.03	0.0458	-0.0016
2.68	0.2312	0.1195
4.33	0.1846	0.1365
5.98	0.1682	0.142
7.63	0.1614	0.145
9.28	0.1583	0.1471

No ponto selecionado: setor ímpar $0.190313$ · monopolo $0.134648$ · $r^*/2M$ $5.098612$.

Decomposição angular

O setor ímpar fecha; o par continua acoplado.

O painel exibe potenciais curados e a estrutura dos setores. Ele não calcula frequências quase-normais, estados ligados ou uma separação radial espinorial nova.

01Fundo fixo e exterior

ds^2=f\,dt^2-f^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2,\qquad f=1-\frac{2M}{r}

Hipóteses campo-teste, $$r>2M$$ , $R_{\mu\nu}=0$ e $$R=0$$ .

02Setores em harmônicos vetoriais

setor ímpar

\left[\partial_{r_*}^2+\omega^2-V_{\rm odd}(r)\right]u_4=0

potencial

V_{\rm odd}=f\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\mu_P^2\right]

Setor par os modos $$u_2,u_3$$ permanecem acoplados. O monopolo $\ell=0$ forma um caso próprio.

03Tétrada principal e espinor de Weyl

Ricci $R_{\mu\nu}=R=0$

Kinnersleytétrada principal

Weyl $\Psi_2=-M/r^3$

\Psi_{ABCD}\psi^{CD}\;\longrightarrow\;(P_{+1},P_0,P_{-1})

Esta é uma especialização da equação covariante. Não constitui uma redução radial espinorial independente.