O objeto conector \(σ\) é o dicionário local entre os dois alfabetos.
Troque um índice mundo por dois índices de spin
A equação de onda covariante de Proca para \(m\) positivo mantém o acoplamento do potencial com o tensor de Ricci.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados+
Construir o dicionário local que substitui cada índice mundo por um par de índices espinoriais sem alterar os graus de liberdade do potencial.
Antes de começar
- A variedade admite uma estrutura espinorial local e uma díade foi fixada.
- Os símbolos de Infeld–van der Waerden \(\sigma\) seguem a normalização do livro de convenções do site.
- A conexão é compatível tanto com a métrica mundo quanto com os conectores.
Linha 1 Associe um par de spin a cada direção mundo
\[\mu\quad\longleftrightarrow\quad AA'\]O que fizemos Fixamos os dois alfabetos de índices que serão relacionados.
Por que é válido A representação vetorial complexificada em quatro dimensões corresponde localmente ao produto das duas representações espinoriais de duas componentes.
Linha 2 Aplique o conector ao potencial
\[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu\]O que fizemos Contraímos o único índice mundo do potencial com um conector \(\sigma\).
Por que é válido O conector é invertível na normalização fixada e realiza uma mudança de representação, não uma nova equação dinâmica.
Linha 3 Transporte também a derivada
\[\nabla_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\mu\]O que fizemos Contraímos o índice direcional de \(\nabla\) com o mesmo conector.
Por que é válido A definição usa o mesmo isomorfismo local empregado no potencial e preserva a natureza covariante do operador.
Linha 4 Faça a derivada atravessar \(\sigma\)
\[\nabla_\lambda\sigma^\mu{}_{AA'}=0\quad\Longrightarrow\quad \nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]O que fizemos Aplicamos Leibniz a \(\sigma\) vezes A e eliminamos \(\nabla \sigma\).
Por que é válido A constância covariante dos conectores é a compatibilidade que impede o aparecimento de termos extras ao traduzir derivadas.
Linha 5 Reúna o dicionário e sua compatibilidade
\[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu,\qquad \nabla_\lambda\sigma^\mu{}_{AA'}=0\]O que fizemos Reunimos a conversão do potencial e a constância covariante do conector na saída do passo.
Por que é válido As duas relações são exatamente o dicionário necessário para converter campos e derivadas sem criar termos adicionais.
O símbolo \(\sigma\) hermitiano converte um índice mundo em um par de índices espinoriais e é covariantemente constante.
Regra ou lema
- Correspondência vetor hermitiano ↔ espinor de valência (1,1).
- Constância covariante dos conectores.
Hipóteses
- A variedade admite estrutura espinorial local.
- Díade e convenções de \(σ\) permanecem fixadas no livro de convenções.
Checkpoint: consigo justificar este passo?
O mapa não duplica graus de liberdade: a condição hermitiana de \(A_{AA′}\) conserva as quatro componentes reais de \(Aμ\).