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Trilhas00 Preparação em espinores01 Teoria mundo02 Curvatura e espinores03 Equações de ondaMinkowskiFLRW / de SitterSchwarzschild

Trilha preparatória 00 · antes do formalismo espinorial

Espinores, desde o começo

Parta apenas de complexos, matrizes e cálculo de graduação. Construa a ponte entre quadrivetores e matrizes hermitianas, aprenda os índices A e A', eleve e abaixe com \(ε/γ\) e chegue aos conectores de Infeld–van der Waerden. A trilha preenche a correspondência que a abertura do Capítulo \(3\) da dissertação declara que será assumida.

passo01

Conjugação complexa e matrizes de Pauli são as únicas peças novas desta primeira conta.

Construa a caixa de ferramentas \(2×2\)

entradaaprovada
\[z=a+ib,\qquad \bar z=a-ib,\qquad z\bar z=a^2+b^2\]

Um número complexo e seu conjugado; o produto é real e não negativo.

operação aplicadaEscreva as três matrizes de Pauli, multiplique um par fora da diagonal e reconheça a regra única que reúne todos os casos.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Obter a álgebra de Pauli por multiplicação matricial, sem pressupor familiaridade com espinores.

Antes de começar

  • Usamos apenas \(i^{2}=−1\), produto de matrizes \(2×2\) e o símbolo \(εᵢⱼₖ\) de três dimensões.
  1. Linha 1

    Escreva as matrizes

    \[\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad\sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Fixamos uma base concreta para que cada identidade possa ser conferida por multiplicação.

    Por que é válido

    As três matrizes, junto da identidade, geram o espaço real das matrizes hermitianas dois por dois.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  2. Linha 2

    Eleve uma matriz ao quadrado

    \[\sigma_1^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\]
    O que fizemos

    Multiplicamos linha por coluna.

    Por que é válido

    O mesmo cálculo vale para \(σ_{2}\) e \(σ_{3}\); isso fornece o caso i igual a j da regra final.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  3. Linha 3

    Multiplique duas matrizes diferentes

    \[\sigma_1\sigma_2=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=i\sigma_3\]
    O que fizemos

    Fizemos as quatro multiplicações linha por coluna.

    Por que é válido

    A ordem 1,2,3 é cíclica e \(ε_{123}=+1\).

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  4. Linha 4

    Inverta a ordem

    \[\sigma_2\sigma_1=-i\sigma_3\]
    O que fizemos

    Repetimos o produto com os fatores trocados.

    Por que é válido

    Trocar dois índices muda o sinal de \(εᵢⱼₖ\); por isso as matrizes diferentes anticomutam.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  5. Linha 5

    Reúna os dois casos

    \[\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\]
    O que fizemos

    Usamos \(δᵢⱼ\) para ligar o termo identidade somente quando \(i=j\) e \(εᵢⱼₖ\) para os produtos cíclicos.

    Por que é válido

    A fórmula reproduz tanto \(σᵢ^{2}=I\) quanto os seis produtos com i diferente de j.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
saídaaprovada
\[\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\]

A identidade que resume todos os produtos das três matrizes de Pauli.

Regra ou lema

  • \(\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\ \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\ \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)
  • O símbolo de Levi-Civita vale \(+1\) em permutações cíclicas de \(123\) e muda de sinal ao trocar dois índices.

Hipóteses

  • Álgebra matricial dois por dois e números complexos usuais.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Calcule \(σ_{1}σ_{2}\): o resultado deve ser \(iσ_{3}\); ao inverter a ordem, deve aparecer \(−iσ_{3}\).

Fontes deste passo
passo02

A base \(I\), \(σ_{1}\), \(σ_{2}\), \(σ_{3}\) tem exatamente quatro coeficientes reais.

Empacote quatro números reais em uma matriz

entradaaprovada
\[\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\]

A identidade que resume todos os produtos das três matrizes de Pauli.

operação aplicadaForme A igual a \(1\) sobre raiz de \(2\) vezes A zero \(I\) mais A i \(σ\) i e faça a soma entrada por entrada.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Mostrar linha por linha como quatro componentes reais viram uma matriz hermitiana dois por dois.

Antes de começar

  • \(A^{0}\), \(A^{1}\), \(A^{2}\) e \(A^{3}\) são reais; a base usa \(I\) e as matrizes do passo anterior.
  1. Linha 1

    Comece pela combinação linear

    \[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}(A^0I+A^1\sigma_1+A^2\sigma_2+A^3\sigma_3)\]
    O que fizemos

    Associamos um coeficiente real a cada elemento da base hermitiana.

    Por que é válido

    Quatro matrizes linearmente independentes recebem as quatro componentes do quadrivetor.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  2. Linha 2

    Some os termos diagonais

    \[A^0I+A^3\sigma_3=\begin{pmatrix}A^0+A^3&0\\0&A^0-A^3\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Somamos as entradas correspondentes das duas matrizes diagonais.

    Por que é válido

    \(I\) soma \(A^{0}\) às duas entradas; \(σ_{3}\) soma \(A^{3}\) na primeira e subtrai na segunda.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  3. Linha 3

    Some os termos fora da diagonal

    \[A^1\sigma_1+A^2\sigma_2=\begin{pmatrix}0&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&0\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Distribuímos \(A^{1}\) e \(A^{2}\) e somamos entrada por entrada.

    Por que é válido

    Como \(A^{1}\) e \(A^{2}\) são reais, as duas entradas são conjugadas complexas.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  4. Linha 4

    Teste a hermiticidade

    \[A_{AA'}^\dagger=A_{AA'}\]
    O que fizemos

    Conjugamos i para \(−i\) e depois transpusemos.

    Por que é válido

    A diagonal real permanece e as entradas fora da diagonal trocam de lugar ao mesmo tempo que são conjugadas.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  5. Linha 5

    Escreva a matriz completa

    \[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Reunimos diagonal e entradas fora da diagonal e recolocamos o fator \(1\) sobre raiz de \(2\).

    Por que é válido

    A expressão tem quatro parâmetros reais independentes, exatamente como \(Aμ\).

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
saídaaprovada
\[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]

O quadrivetor real é escrito como uma matriz hermitiana dois por dois na base de Pauli normalizada.

Regra ou lema

  • Uma matriz H é hermitiana quando \(H†=H\): a diagonal é real e as entradas fora da diagonal são conjugadas.
  • A soma sobre i percorre somente \(1\), \(2\) e \(3\).

Hipóteses

  • As quatro componentes \(A^{0}\), \(A^{1}\), \(A^{2}\), \(A^{3}\) são reais.
  • Assinatura \((+---)\) e conectores normalizados por \(1/√2\).
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Conjugue e transponha a matriz: a entrada superior direita deve virar exatamente a inferior esquerda.

Fontes deste passo
passo03

O sinal lorentziano aparece como uma conta elementar de determinante.

Recupere a geometria pelo determinante

entradaaprovada
\[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]

O quadrivetor real é escrito como uma matriz hermitiana dois por dois na base de Pauli normalizada.

operação aplicadaMultiplique as entradas da diagonal, subtraia o produto das entradas fora da diagonal e distribua os quadrados.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Ver a norma lorentziana emergir do determinante da matriz do quadrivetor.

Antes de começar

  • Usamos a matriz hermitiana do passo anterior e a fórmula \(ad−bc\).
  1. Linha 1

    Separe o fator global

    \[\det(A_{AA'})=\frac12\det\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Retiramos \(1/√2\) de cada linha.

    Por que é válido

    O determinante de uma matriz dois por dois é homogêneo de grau dois.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  2. Linha 2

    Multiplique a diagonal

    \[(A^0+A^3)(A^0-A^3)=(A^0)^2-(A^3)^2\]
    O que fizemos

    Aplicamos \((x+y)(x−y)=x^{2}−y^{2}\).

    Por que é válido

    Os termos cruzados se cancelam.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  3. Linha 3

    Multiplique fora da diagonal

    \[(A^1-iA^2)(A^1+iA^2)=(A^1)^2+(A^2)^2\]
    O que fizemos

    Usamos \(i^{2}=−1\) e cancelamos os termos cruzados.

    Por que é válido

    O produto z barra z é o módulo ao quadrado.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  4. Linha 4

    Faça ad menos bc

    \[\det(A_{AA'})=\frac12\big[(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2\big]\]
    O que fizemos

    Subtraímos o produto fora da diagonal do produto diagonal.

    Por que é válido

    O sinal espacial negativo não foi imposto depois: ele aparece em \(ad−bc\).

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗
  5. Linha 5

    Reconheça a norma mundo

    \[2\det(A_{AA'})=(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2=A_\mu A^\mu\]
    O que fizemos

    Multiplicamos por dois e escrevemos a contração com a métrica \((+---)\).

    Por que é válido

    Essa igualdade explica por que a matriz hermitiana carrega a mesma geometria do quadrivetor.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
saídaaprovada
\[2\det(A_{AA'})=(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2=A_\mu A^\mu\]

Duas vezes o determinante da matriz hermitiana reproduz a norma de Minkowski do quadrivetor.

Regra ou lema

  • \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)
  • \((x-iy)(x+iy)=x^2+y^2\)

Hipóteses

  • \(Aμ\) é real.
  • A métrica de Minkowski é \(diag(+1,−1,−1,−1)\).
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Para \(A=(1,0,0,0)\), a matriz é \(I/√2\) e \(2 det(A)=1\); para \(A=(0,1,0,0)\), deve dar \(−1\).

Fontes deste passo
passo04

A linha no índice marca o espaço complexo conjugado; ela não é uma derivada.

Separe índices primados e não primados

entrada 1aprovada
\[z=a+ib,\qquad \bar z=a-ib,\qquad z\bar z=a^2+b^2\]

Um número complexo e seu conjugado; o produto é real e não negativo.

entrada 2aprovada
\[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]

O quadrivetor real é escrito como uma matriz hermitiana dois por dois na base de Pauli normalizada.

operação aplicadaConjugue as duas componentes de \(ξ\) e forme um exemplo de objeto AA' pelo produto externo entre a coluna não primada e a coluna conjugada.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Dar significado operacional aos índices A e A' por conjugação e produto externo.

Antes de começar

  • Um espinor de duas componentes é uma coluna complexa; a linha no índice nomeia o espaço conjugado.
  1. Linha 1

    Escolha um espinor

    \[\xi^A=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},\qquad u,v\in\mathbb C\]
    O que fizemos

    Nomeamos a coluna no espaço não primado.

    Por que é válido

    O índice A assume dois valores de base, mas representa a lei de transformação da coluna inteira.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  2. Linha 2

    Conjugue o espaço

    \[\bar\xi^{A'}=\begin{pmatrix}\bar u\\\bar v\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Trocamos cada componente por seu conjugado e marcamos o tipo de índice com a linha.

    Por que é válido

    A linha distingue a representação conjugada sem confundi-la com uma derivada.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  3. Linha 3

    Forme o produto externo

    \[\xi^A\bar\xi^{A'}=\begin{pmatrix}u\bar u&u\bar v\\v\bar u&v\bar v\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Multiplicamos cada componente da primeira coluna por cada componente conjugada.

    Por que é válido

    O resultado possui uma linha e uma coluna espinorial, portanto o tipo AA'.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Penrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  4. Linha 4

    Confira a hermiticidade e o caso nulo

    \[(u\bar v)^*=v\bar u,\qquad \det(\xi^A\bar\xi^{A'})=|u|^2|v|^2-(u\bar v)(v\bar u)=0\]
    O que fizemos

    Conjugamos as entradas e calculamos o determinante dois por dois.

    Por que é válido

    A hermiticidade permite a leitura como vetor mundo real; o determinante nulo mostra que um único produto espinorial representa especificamente um vetor nulo.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Penrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  5. Linha 5

    Registre os dois espaços sem generalizar demais

    \[\xi^A=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},\qquad \bar\xi^{A'}=\begin{pmatrix}\bar u\\\bar v\end{pmatrix},\qquad X^{AA'}=\xi^A\bar\xi^{A'}\]
    O que fizemos

    Resumimos a relação entre os tipos A, A' e o exemplo fatorável AA'.

    Por que é válido

    A linha \(4\) mostrou que este produto é o caso nulo; um vetor real geral continua sendo uma matriz hermitiana geral, sem precisar de uma única fatoração.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 1–67 ↗Penrose & Rindler · p. 68–115 ↗
saídaaprovada
\[\xi^A=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},\qquad \bar\xi^{A'}=\begin{pmatrix}\bar u\\\bar v\end{pmatrix},\qquad X^{AA'}=\xi^A\bar\xi^{A'}\]

O índice não primado pertence ao espaço espinorial complexo e o primado ao espaço conjugado; um único produto externo produz uma matriz hermitiana de posto um.

Regra ou lema

  • A conjugação troca A por A' e i por \(−i\).
  • O produto de uma coluna por uma linha produz uma matriz \(2×2\) de posto um; por isso seu determinante é zero.

Hipóteses

  • Os espaços de índices A e A' têm dimensão complexa dois e são conjugados entre si.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Expanda \(X\): confira que as entradas fora da diagonal são conjugadas e que \(det(X)=0\). Esse é o caso nulo, não o quadrivetor geral.

Fontes deste passo
passo05

O espinor \(ε\) faz, no espaço espinorial, o papel algébrico de uma métrica.

Aprenda a elevar e abaixar índices

entradaaprovada
\[\xi^A=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},\qquad \bar\xi^{A'}=\begin{pmatrix}\bar u\\\bar v\end{pmatrix},\qquad X^{AA'}=\xi^A\bar\xi^{A'}\]

O índice não primado pertence ao espaço espinorial complexo e o primado ao espaço conjugado; um único produto externo produz uma matriz hermitiana de posto um.

operação aplicadaAplique a matriz antissimétrica a \(ξᴬ=(u,v)\), obtenha \(ξ_A=(v,−u)\) e multiplique pela matriz inversa para voltar.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Elevar e abaixar um índice por uma conta de matriz completamente reversível.

Antes de começar

  • Fixamos \(ε_{01}=+1\); a matriz com índices altos é a inversa da matriz com índices baixos.
  1. Linha 1

    Fixe \(ε\) com índices baixos

    \[\epsilon_{AB}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Escolhemos a orientação \(ε\) zero um igual a mais um.

    Por que é válido

    Uma forma antissimétrica não degenerada existe em dimensão complexa dois e fixa a contração espinorial.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  2. Linha 2

    Abaixe o índice

    \[\xi_A=\epsilon_{AB}\xi^B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v\\-u\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Multiplicamos \(ε\) pela coluna componente a componente.

    Por que é válido

    A operação é linear e preserva as duas componentes, mudando sua configuração de índice.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  3. Linha 3

    Construa a inversa

    \[\epsilon^{AB}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\]
    O que fizemos

    Invertemos a matriz dois por dois.

    Por que é válido

    O sinal oposto garante que elevar desfaça exatamente o abaixamento.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  4. Linha 4

    Eleve de volta

    \[\epsilon^{AB}\xi_B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v\\-u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\xi^A\]
    O que fizemos

    Multiplicamos a matriz inversa pelo resultado do abaixamento.

    Por que é válido

    A composição deve ser a identidade em qualquer espinor.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
  5. Linha 5

    Escreva a regra em índices

    \[\epsilon_{AB}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad \epsilon^{AB}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad \xi_A=\epsilon_{AB}\xi^B,\quad \epsilon^{AB}\epsilon_{BC}=\delta^A{}_C\]
    O que fizemos

    Substituímos a multiplicação de matrizes por contração de índices.

    Por que é válido

    A igualdade com \(\delta\) registra em notação abstrata a checagem componente a componente.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗
saídaaprovada
\[\epsilon_{AB}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad \epsilon^{AB}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad \xi_A=\epsilon_{AB}\xi^B,\quad \epsilon^{AB}\epsilon_{BC}=\delta^A{}_C\]

O espinor antissimétrico abaixa e eleva índices e sua matriz inversa desfaz a operação.

Regra ou lema

  • \(εAB=−εBA\).
  • Cada espaço, primado ou não primado, tem sua própria cópia de \(ε\).

Hipóteses

  • A convenção de sinais está fixada pelas matrizes exibidas; outra convenção exige alterar as duas matrizes juntas.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Comece com (u,v), abaixe para \((v,−u)\) e eleve novamente: o resultado precisa ser (u,v), sem sinal residual.

Fontes deste passo
passo06

\(γAB\) mantém a mesma antissimetria, mas pode carregar uma escala complexa local.

Passe de \(ε\) ao formalismo \(γ\) da dissertação

entradaaprovada
\[\epsilon_{AB}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad \epsilon^{AB}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad \xi_A=\epsilon_{AB}\xi^B,\quad \epsilon^{AB}\epsilon_{BC}=\delta^A{}_C\]

O espinor antissimétrico abaixa e eleva índices e sua matriz inversa desfaz a operação.

operação aplicadaMultiplique \(εAB\) por um escalar complexo não nulo \(γ\), construa o inverso com \(γ^{-1}\) e registre sua derivada covariante por \(βμ\).
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Conectar o \(ε\) didático ao formalismo \(γ\) empregado na dissertação sem esconder a hipótese de invertibilidade.

Antes de começar

  • \(γ\) é um escalar complexo local não nulo; \(βμ\) pertence à conexão espinorial e não ao campo de Proca.
  1. Linha 1

    Reescale o espinor métrico

    \[\gamma_{AB}=\gamma\,\epsilon_{AB},\qquad \gamma\ne0\]
    O que fizemos

    Permitimos uma escala complexa local sem mudar a antissimetria.

    Por que é válido

    Multiplicar uma forma antissimétrica por um escalar preserva \(γAB=−γBA\).

    Conferir emDissertação · Eq. (3.19)–(3.22) · p. 16 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  2. Linha 2

    Construa o objeto inverso

    \[\gamma^{AB}=\gamma^{-1}\epsilon^{AB}\]
    O que fizemos

    Invertemos separadamente o fator escalar e a matriz.

    Por que é válido

    A hipótese \(γ\) diferente de zero torna \(γ^{-1}\) bem definido.

    Conferir emDissertação · Eq. (3.19)–(3.22) · p. 16 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  3. Linha 3

    Teste a inversão

    \[\gamma_{AC}\gamma^{CB}=\gamma\gamma^{-1}\epsilon_{AC}\epsilon^{CB}=\delta_A{}^B\]
    O que fizemos

    Contraímos o índice C e agrupamos escalares.

    Por que é válido

    Elevar e abaixar com \(γ\) continua sendo uma operação reversível.

    Conferir emDissertação · Eq. (3.19)–(3.22) · p. 16 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  4. Linha 4

    Registre a variação covariante

    \[\nabla_\mu\gamma_{AB}=i\beta_\mu\gamma_{AB}\]
    O que fizemos

    Nomeamos por \(βμ\) o coeficiente de fase que aparece ao derivar o espinor métrico.

    Por que é válido

    Essa é a convenção operacional usada mais adiante para transportar índices com \(γ\).

    Conferir emDissertação · Eq. (3.28) · p. 17 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  5. Linha 5

    Reúna o formalismo \(γ\)

    \[\gamma_{AB}=\gamma\,\epsilon_{AB},\qquad \gamma^{AB}=\gamma^{-1}\epsilon^{AB},\qquad \nabla_\mu\gamma_{AB}=i\beta_\mu\gamma_{AB}\]
    O que fizemos

    Colocamos lado a lado a definição algébrica e a regra diferencial.

    Por que é válido

    As três relações separam o que é movimentação de índice do que é transporte covariante.

    Conferir emDissertação · Eq. (3.19)–(3.22) · p. 16 ↗Dissertação · Eq. (3.28) · p. 17 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
saídaaprovada
\[\gamma_{AB}=\gamma\,\epsilon_{AB},\qquad \gamma^{AB}=\gamma^{-1}\epsilon^{AB},\qquad \nabla_\mu\gamma_{AB}=i\beta_\mu\gamma_{AB}\]

O formalismo gama permite uma escala complexa local não nula e registra sua compatibilidade covariante pelo vetor \(\beta\).

Regra ou lema

  • \(\gamma_{AC}\gamma^{CB}=\delta_A{}^B\)
  • O fator \(γ\) deve ser não nulo para que elevar e abaixar índices continue invertível.

Hipóteses

  • Usamos a convenção \(γ/β\) fixada no livro de convenções do site.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Multiplique \(γε\) por \(γ^{-1}ε^{-1}\): os fatores escalares devem cancelar antes da contração dos índices.

Fontes deste passo
passo07

Um índice mundo equivale a um par AA' quando a base e a normalização estão fixadas.

Use os conectores de Infeld–van der Waerden

entrada 1aprovada
\[A_{AA'}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}A^0+A^3&A^1-iA^2\\A^1+iA^2&A^0-A^3\end{pmatrix}\]

O quadrivetor real é escrito como uma matriz hermitiana dois por dois na base de Pauli normalizada.

entrada 2aprovada
\[\epsilon_{AB}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad \epsilon^{AB}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad \xi_A=\epsilon_{AB}\xi^B,\quad \epsilon^{AB}\epsilon_{BC}=\delta^A{}_C\]

O espinor antissimétrico abaixa e eleva índices e sua matriz inversa desfaz a operação.

operação aplicadaIdentifique a base de Pauli normalizada com \(σμAA'\), defina o conector dual e contraia os dois para testar a identidade.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Definir a tradução mundo–espinor e provar que o mapa inverso recupera todas as componentes.

Antes de começar

  • Os conectores usam as matrizes de Pauli com \(1/√2\) e seus duais são definidos pela identidade de completude.
  1. Linha 1

    Nomeie a base como conector

    \[\sigma_{\mu AA'}=\frac1{\sqrt2}(I,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\]
    O que fizemos

    Reinterpretamos o rótulo das quatro matrizes como um índice mundo.

    Por que é válido

    A mesma base que empacotou o quadrivetor agora recebe notação covariante e explicita a correspondência assumida na abertura do Capítulo \(3\).

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Infeld & van der Waerden · p. 380–401 ↗Dissertação · p. 14 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  2. Linha 2

    Eleve o índice mundo

    \[\sigma^\mu{}_{AA'}=\frac1{\sqrt2}(I,-\sigma_1,-\sigma_2,-\sigma_3)\]
    O que fizemos

    Aplicamos \(diag(+1,−1,−1,−1)\) ao rótulo mundo.

    Por que é válido

    A troca de sinal pertence à métrica lorentziana, não a uma nova definição de Pauli.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  3. Linha 3

    Traduza o potencial

    \[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu\]
    O que fizemos

    Contraímos o índice mundo e deixamos livres A e A'.

    Por que é válido

    Um índice mundo foi substituído por um par espinorial de tipos diferentes.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  4. Linha 4

    Defina o mapa inverso

    \[A_\mu=\sigma_\mu{}^{AA'}A_{AA'}\]
    O que fizemos

    Contraímos o par AA' com a base dual.

    Por que é válido

    O dual é escolhido para extrair cada coeficiente da expansão matricial.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  5. Linha 5

    Feche a ida e volta

    \[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu,\qquad A_\mu=\sigma_\mu{}^{AA'}A_{AA'},\qquad \sigma^\mu{}_{AA'}\sigma_\nu{}^{AA'}=\delta^\mu{}_\nu\]
    O que fizemos

    Substituímos o primeiro mapa no segundo e exigimos que o coeficiente de \(Aν\) seja \(\delta \mu \nu\).

    Por que é válido

    A completude prova que a tradução é bijetiva e não elimina componentes.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Infeld & van der Waerden · p. 380–401 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
saídaaprovada
\[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu,\qquad A_\mu=\sigma_\mu{}^{AA'}A_{AA'},\qquad \sigma^\mu{}_{AA'}\sigma_\nu{}^{AA'}=\delta^\mu{}_\nu\]

Os conectores de Infeld–van der Waerden fazem a tradução nos dois sentidos e a identidade de completude garante que nenhuma componente se perde.

Regra ou lema

  • \(\sigma_{\mu AA'}=\frac1{\sqrt2}(I,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\)
  • \(\sigma^\mu{}_{AA'}=\frac1{\sqrt2}(I,-\sigma_1,-\sigma_2,-\sigma_3)\)
  • Elevar o índice mundo com \((+---)\) troca o sinal das três matrizes espaciais.

Hipóteses

  • A métrica mundo e os espinores métricos usam as convenções globais do site.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Traduza \(Aμ\) para AA' e aplique imediatamente o conector inverso: a identidade de completude deve devolver o mesmo \(Aμ\).

Fontes deste passo
passo08

A condição \(∇σ=0\) impede que a mudança de linguagem crie termos extras.

Leve a tradução para a derivada covariante

entradaaprovada
\[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu,\qquad A_\mu=\sigma_\mu{}^{AA'}A_{AA'},\qquad \sigma^\mu{}_{AA'}\sigma_\nu{}^{AA'}=\delta^\mu{}_\nu\]

Os conectores de Infeld–van der Waerden fazem a tradução nos dois sentidos e a identidade de completude garante que nenhuma componente se perde.

operação aplicadaDefina \(∇BB'=σνBB'∇ν\), aplique Leibniz a \(A_AA'=σμAA'Aμ\) e elimine a derivada do conector por compatibilidade.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Derivar um objeto AA' sem gerar termos espúrios da base que faz a tradução.

Antes de começar

  • A conexão mundo e a conexão espinorial são escolhidas de modo compatível com o conector: \(∇σ=0\).
  1. Linha 1

    Traduza o operador

    \[\nabla_{BB'}:=\sigma^\nu{}_{BB'}\nabla_\nu\]
    O que fizemos

    Substituímos o índice mundo do operador por um par BB'.

    Por que é válido

    O operador precisa obedecer ao mesmo dicionário dos campos sobre os quais atua.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  2. Linha 2

    Insira o potencial traduzido

    \[\nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\nabla_\nu\!\left(\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu\right)\]
    O que fizemos

    Substituímos as duas definições no lado esquerdo.

    Por que é válido

    Ainda não eliminamos nenhum termo; apenas tornamos todas as dependências visíveis.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  3. Linha 3

    Aplique Leibniz

    \[\sigma^\nu{}_{BB'}\left[(\nabla_\nu\sigma^\mu{}_{AA'})A_\mu+\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\right]\]
    O que fizemos

    Distribuímos a derivada covariante sobre os dois fatores.

    Por que é válido

    Esconder o primeiro termo faria a compatibilidade parecer uma suposição sem função.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗
  4. Linha 4

    Use a compatibilidade

    \[\nabla_\nu\sigma^\mu{}_{AA'}=0\quad\Longrightarrow\quad \sigma^\nu{}_{BB'}(\nabla_\nu\sigma^\mu{}_{AA'})A_\mu=0\]
    O que fizemos

    Aplicamos a condição de compatibilidade entre as duas conexões.

    Por que é válido

    A base é transportada junto com os índices; por isso traduzir e derivar comutam.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
  5. Linha 5

    Conserve somente a derivada física

    \[\nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]
    O que fizemos

    Removemos o termo nulo e reorganizamos os dois conectores.

    Por que é válido

    A igualdade permite levar qualquer conta tensorial de primeira derivada para a notação espinorial sem correção adicional.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
saídaaprovada
\[\nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]

Com os conectores covariantemente constantes, derivar a matriz espinorial equivale a traduzir cada índice da derivada tensorial.

Regra ou lema

  • \(\nabla_\lambda\sigma^\mu{}_{AA'}=0\)
  • Regra de Leibniz para a derivada covariante.

Hipóteses

  • Conexão métrica e espinorial compatível, sem torção, como nas fontes do mestrado.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Abra Leibniz: devem surgir dois termos; o termo \((∇σ)A\) zera e sobra somente \(σσ∇A\).

Fontes deste passo
passo09

Potencial, derivada e divergência agora podem ser lidos nas duas notações.

Monte o dicionário que a teoria de Proca usa

entrada 1aprovada
\[A_{AA'}=\sigma^\mu{}_{AA'}A_\mu,\qquad A_\mu=\sigma_\mu{}^{AA'}A_{AA'},\qquad \sigma^\mu{}_{AA'}\sigma_\nu{}^{AA'}=\delta^\mu{}_\nu\]

Os conectores de Infeld–van der Waerden fazem a tradução nos dois sentidos e a identidade de completude garante que nenhuma componente se perde.

entrada 2aprovada
\[\nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]

Com os conectores covariantemente constantes, derivar a matriz espinorial equivale a traduzir cada índice da derivada tensorial.

operação aplicadaContraia o primeiro par de índices da derivada traduzida e use a completude dos conectores para recuperar a divergência mundo.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Traduzir a divergência do potencial e entregar o dicionário mínimo exigido pela trilha de curvatura e espinores.

Antes de começar

  • O mapa é invertível, os conectores são compatíveis com \(∇\) e a normalização é a mesma em todos os fatores.
  1. Linha 1

    Comece pela derivada traduzida

    \[\nabla_{BB'}A_{AA'}=\sigma^\nu{}_{BB'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]
    O que fizemos

    Retomamos o resultado do passo anterior.

    Por que é válido

    A contração desejada será feita sobre um índice não primado e um primado.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  2. Linha 2

    Eleve o par da derivada

    \[\nabla^{AA'}A_{AA'}=\sigma^{\nu AA'}\sigma^\mu{}_{AA'}\nabla_\nu A_\mu\]
    O que fizemos

    Usamos os espinores métricos para mover os dois índices do primeiro conector.

    Por que é válido

    A configuração escolhida deixa somente os índices mundo \(\nu\) e \(\mu\) no lado direito.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 68–115 ↗Penrose & Rindler · p. 179–311 ↗
  3. Linha 3

    Aplique a completude

    \[\sigma^{\nu AA'}\sigma^\mu{}_{AA'}=g^{\nu\mu}\]
    O que fizemos

    Contraímos o par AA' da base com sua dual.

    Por que é válido

    Esta é a versão de completude apropriada aos dois índices mundo elevados.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  4. Linha 4

    Reconheça a divergência

    \[\nabla^{AA'}A_{AA'}=g^{\nu\mu}\nabla_\nu A_\mu=\nabla^\mu A_\mu\]
    O que fizemos

    Substituímos a completude e elevamos o índice da derivada com a métrica.

    Por que é válido

    A condição de transversalidade de Proca terá o mesmo conteúdo nas duas linguagens.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Penrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗
  5. Linha 5

    Guarde o dicionário mínimo

    \[A_\mu\longleftrightarrow A_{AA'},\qquad \nabla_\mu\longleftrightarrow\nabla_{AA'},\qquad \nabla^\mu A_\mu=\nabla^{AA'}A_{AA'}\]
    O que fizemos

    Reunimos as três traduções que serão usadas imediatamente na teoria espinorial de Proca.

    Por que é válido

    A próxima trilha pode agora introduzir bivetores e curvaturas sem pressupor que o leitor já conheça o mapa mundo–espinor.

    Conferir emPenrose & Rindler · p. 116–178 ↗Penrose & Rindler · p. 179–311 ↗Dissertação · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 20 ↗Artigo v7 · Eq. (18)–(25) · p. 6 ↗
saídaaprovada
\[A_\mu\longleftrightarrow A_{AA'},\qquad \nabla_\mu\longleftrightarrow\nabla_{AA'},\qquad \nabla^\mu A_\mu=\nabla^{AA'}A_{AA'}\]

O dicionário final traduz potencial, derivada e divergência para a notação que abre a teoria espinorial de Proca.

Regra ou lema

  • Contrair AA' corresponde a contrair o índice mundo associado.
  • A tradução muda a representação, não o número de graus de liberdade.

Hipóteses

  • Mesma normalização de \(σ\) em toda a contração.
  • Campo vetorial real, portanto \(A_AA'\) é hermitiano.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Conte os dados: \(Aμ\) tem quatro componentes reais; \(A_AA'\) é hermitiana e também tem quatro componentes reais.

Fontes deste passo

Resultado da trilha

O dicionário final traduz potencial, derivada e divergência para a notação que abre a teoria espinorial de Proca.

\[A_\mu\longleftrightarrow A_{AA'},\qquad \nabla_\mu\longleftrightarrow\nabla_{AA'},\qquad \nabla^\mu A_\mu=\nabla^{AA'}A_{AA'}\]
Voltar pelas dependências1. Monte o dicionário que a teoria de Proca usa2. Leve a tradução para a derivada covariante3. Use os conectores de Infeld–van der Waerden4. Passe de \(ε\) ao formalismo \(γ\) da dissertação5. Aprenda a elevar e abaixar índices6. Separe índices primados e não primados7. Recupere a geometria pelo determinante8. Empacote quatro números reais em uma matriz9. Construa a caixa de ferramentas \(2×2\)
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