O fator \(1/2\) é pequeno na tipografia e decisivo na variação.
Fixe a ação e a normalização
A ação é a integral da densidade Lagrangiana multiplicada pelo elemento de volume invariante raiz de menos g.
O bivetor de Proca é a parte antissimétrica da derivada covariante do potencial.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados+
Montar a ação de Proca com uma normalização que produza exatamente o termo de massa da equação de campo.
Antes de começar
- A métrica tem assinatura \((+---)\), a conexão é de Levi-Civita e a métrica não é variada neste problema.
- O campo fundamental é o potencial real \(A_\mu\); seu bivetor é \(f_{\mu \nu}=2 \nabla_[\mu A_\nu]\).
- A forma com \(1/2\) no termo de massa segue a dissertação; a omissão tipográfica desse fator no artigo v7 é tratada como nota editorial.
Linha 1 Fixe o elemento de volume invariante
\[dV_g=\sqrt{-g}\,d^4x,\qquad S=\int_\Omega \mathcal L\,dV_g\]O que fizemos Escrevemos a ação em uma forma que não depende da escolha de coordenadas.
Por que é válido A densidade raiz de menos g compensa o Jacobiano da mudança de coordenadas e torna a integral escalar.
Linha 2 Construa o bivetor a partir do potencial
\[f_{\mu\nu}=2\nabla_{[\mu}A_{\nu]}=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu\]O que fizemos Antissimetrizamos uma derivada de A e explicitamos o peso unitário da notação entre colchetes.
Por que é válido Para uma conexão sem torção, os símbolos de Christoffel simétricos se cancelam nessa diferença.
Linha 3 Forme o escalar cinético
\[\mathcal L_{\rm cin}=-\frac14 f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}\]O que fizemos Contraímos os dois índices de f com a métrica e incluímos o fator convencional menos um quarto.
Por que é válido A contração elimina todos os índices livres e fornece o escalar local quadrático em primeira derivada usado nas fontes.
Linha 4 Normalize o termo de massa
\[\mathcal L_{\rm massa}=\frac12m^2A_\mu A^\mu,\qquad \frac{\partial\mathcal L_{\rm massa}}{\partial A_\nu}=m^2A^\nu\]O que fizemos Derivamos o termo quadrático em relação ao potencial para testar sua normalização.
Por que é válido Como a métrica é fixa, variar A \(\mu\) A \(\mu\) produz duas cópias iguais; o fator um meio deixa apenas \(m\) ao quadrado A \(\nu\).
Linha 5 Reuna a densidade de Proca
\[\boxed{\mathcal L=-\frac14 f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}+\frac12m^2A_\mu A^\mu},\qquad S=\int_\Omega\mathcal L\sqrt{-g}\,d^4x\]O que fizemos Somamos os dois escalares locais e os inserimos na ação.
Por que é válido Esta é a forma da dissertação e é a única das duas leituras editoriais que reproduz a variação adotada nas etapas seguintes.
A densidade Lagrangiana de Proca contém o termo cinético menos um quarto de f ao quadrado e o termo de massa mais um meio de \(m\) ao quadrado vezes A ao quadrado.
Regra ou lema
- Contração de índices com a métrica \(gμν\).
- Antissimetrização com peso unitário: \(2∇[μAν] = ∇μAν − ∇νAμ\).
- A derivada de \(\frac12m^{2}AνA^ν\) em relação a \(Aν\) produz \(m^{2}A^ν\).
Hipóteses
- Espaço-tempo quadridimensional, orientável e sem torção.
- Convenção métrica \((+---)\), massa real e \(m>0\) para a teoria de Proca.
- Conexão de Levi-Civita, \(∇λgμν=0\).
Checkpoint: consigo justificar este passo?
Se o \(1/2\) fosse removido sem alterar mais nada, a variação do termo de massa produziria \(2m^{2}Aν\); por isso a forma normalizada é a única compatível com a equação de campo adotada.
- Dissertação · cap. 2 — Teoria Mundo · Eq. (2.4) · p. 11 · PDF 12 ↗A densidade Lagrangiana traz explicitamente o fator \(1/2\) no termo de massa.
- Dissertação · cap. 2 — Teoria Mundo · Eq. (2.5) · p. 11 · PDF 12 ↗
- Artigo v7 · § 2 — World theory · Eq. (1)–(3) · p. 4 · PDF 4 ↗Na Eq. (2), o PDF v7 mostra o termo \(m^{2}AμA^μ\) sem \(1/2\). O ambiente adota \(1/2\), como na dissertação e como exige a variação exibida em seguida.